离散时间系统的傅里叶分析

[拼音]：lisan shijian xitong de Fuliye fenxi

[外文]：Fourier analysis in discrete time system

用傅里叶变换的方法在频域中对离散时间线性时不变系统在零状态下激励信号产生响应的问题进行分析。在频域中研究离散时间系统中的问题常常比在时域中研究有其特殊的便利。由于离散时间序列的傅里叶变换把时域中的卷积计算变为频域中的乘法计算，使信号通过系统的问题得到简化。还有信号的调制、抽样等实际问题，也需要用傅里叶方法进行分析。所以傅里叶分析在研究信号与系统中是非常重要的。

离散时间系统可用差分方程

　　 (1)

来描述。式中N 为差分方程的阶数。用N 阶差分方程描述的系统称为N 阶系统。任意阶次的系统可以用一阶或二阶系统作为基本单元来构成，所以，离散时间系统研究的重点在一阶和二阶系统。高阶系统则可以通过基本单元的适当联接实现。

离散时间系统傅里叶分析所用的工具为离散时间序列的傅里叶变换。

离散时间系统的频率响应

由于在时域中离散时间线性时不变系统的输出序列y(n)等于该系统的单位冲激响应h(n)与输入序列χ(n)的卷积

　　　(2)

根据离散时间序列傅里叶变换的时域卷积定理，式(2)的傅里叶变换为

Y(e^jw)＝H(e^jw)·X(e^jw)　 (3)

式中Y(e^jw)、H(e^jw)和X(e^jw)分别为y(n)、h(n)和χ(n)的傅里叶变换。

定义离散时间线性时不变系统的频率响应为该系统输出序列的傅里叶变换与输入序列的傅里叶变换之比。即

　　　 (4)

式中H(e^jw)为离散时间线性时不变系统的频率响应。已知系统的频率响应，用它乘输入序列的傅里叶变换，便得到系统的输出序列的傅里叶变换。因此，频率响应能全面地描述系统。

离散时间系统频率响应的一般表达式为

　　　 (5)

频率响应H(e^jw)的物理意义，对离散时间系统输入信号e

，如图所示，1

则

　 (6)

式中argH(e^jw)为H(e^jw)的相位。式(6)说明，信号e通过系统时，系统用它的频率响应在幅度上和相位上对输入信号进行改变，使y(n)的幅度为｜H(e^jw)｜，相位为ωn+argH(e^jw)。

由于很多信号可以看作是，所以把e称为基本信号或系统的本征函数，而把H(e^jw)称为系统的本征值。

如果输入序列由不同频率的基本信号组成，

则系统的输出为

　　　(7)

式中H(e)为系统对频率ω_k的频率响应。也就是说，对于线性时不变离散时间系统，不同频率的信号通过系统时，系统以不同的频率响应作用于输入信号各不同频率的成分，而系统的输出则为各不同频率输出的叠加。

频率响应是一个随频率而变化的复数量。它一般写成

　　 (8)

式中｜H(e^jw)｜是频率响应的幅度，argH(e^jw)是频率响应的相位。｜H(e^jw)｜随频率的变化称为系统的幅频特性，argH(e^jw)随频率的变化称为相频特性。

根据系统的单位冲激响应 h(n)与频率响应H(e^jw)为一对傅里叶变换，所以已知H(e^jw)后，便可通过

　　 (9)

求出h(n)。

离散时间系统的级联实现和并联实现

式 (5)所示系统的频率响应是一个有理式，其分母和分子都是以e为变量的多项式。如果将分母和分子多项式都分解为因式，则频率的响应可写成

　　 (10)

式中H_k(e^jw)(k=1，2，…，N)为一阶或二阶系统的频率响应。因此，系统的总的频率响应可用级联的形式来实现（图2）。

如果将式(5)展开为部分分式，则

　　　　 (11)

式中H_k(e^jw)（k=1，2，…，N）为一阶或二阶系统的频率响应。因此，系统的总的频率响应可用并联形式来实现(图3)。

一阶离散时间系统

在频域中分析一阶离散时间系统主要是研究它的频率响应，包括幅频特性和相频特性。

描述一阶离散时间系统的差分方程为

　　　 (12)

则其频率响应为

　　　　 (13)

于是幅频特性

　　　(14)

幅频特性曲线如图4所示。

相频特性为

　　　(15)

相频特性曲线如图5所示。

由于从H(e^jw)可以直接求出h(n)，从式(13)得

　　　(16)

在a为实数的情况下，当0＜a＜1，h(n)是个随n增加而逐渐衰减的序列；当-1＜a＜0，h(n)是个随n增加而交替正负并逐渐衰减的序列；当a＞1，h(n)是个随n增加而逐渐增加的发散序列；当a＜-1， h(n)是个随n增加而交替正负并逐渐增加的发散序列。

所以，在已知描述系统的差分方程后，可通过傅里叶变换得出频率响应H(e^jw)。这样，当一个信号序列χ(n)进入这个系统后，只要χ(n)的傅里叶变换乘以H(e^jw)，就得到输出序列的傅里叶变换Y(e^jw)，再经过逆变换就得到y(n)。得知系统的H(e^jw)后，也就知道了系统的时域性能。例如通过h(n)确定系统是否稳定，单位冲激响应是否交替变化等。

二阶离散时间系统

二阶离散时间系统用差分方程

　　 (17)

描述。式中a、b等系数皆为实数。上式的频率响应为

　　　(18)

将H(e^jw)展开为部分公式

　　 (19)

式中的P₁、P₂值有下列3种可能。

（1）P₁、P₂为实数，且P₁≠P₂。这时求出的A₁、A₂一定是实数，于是系统的单位冲激响应为

当P₁、P₂都小于1时，h(n)随n的增加而逐渐衰减，系统是稳定的。如果P₁、P₂中有任何一个大于1，则h(n)将逐渐增长而趋于无穷；如果P₁、P₂中有一个等于1，则h(n)不是绝对可和的，所以后两种情况下系统都是不稳定的。

（2）P₁＝P₂＝P，且为实数。于是

这时h(n)的逐渐衰减或增长要依P＜1或P≥1而定。

（3）P₁和P₂为一对共轭复数。设P₁＝Pe，P₂＝Pe于是

式中r和φ都由式(17)中的系数确定。当P＜1时，h(n)为衰减振荡；P＝1时，h(n)为等幅振荡；P＞1时， h(n)为增幅振荡。

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