Python数学建模三剑客之Scipy

三剑客之Scipy

前面已经说过，最初的numpy其实是scipy的一部分，后来才从scipy中分离出来。scipy函数库在numpy库的基础上增加了众多的数学、科学以及工程计算中常用的库函数。例如线性代数、常微分方程数值求解、信号处理、图像处理、稀疏矩阵等等。由于其涉及的领域众多，我之于scipy，就像盲人摸大象，只能是摸到哪儿算哪儿。

一、插值

数据插值是数据处理过程中经常用到的技术，常用的插值有一维插值、二维插值、高阶插值等，常见的算法有线性插值、B样条插值、临近插值等。

1、一维插值

一维插值最常用的算法是线型插值和三阶样条插值，此外还有前点插值、后点插值、临近点插值、零阶插值（等同于前点插值）、一阶插值（等同于线性插值）、五阶插值等。下面的例子对以上8中插值方法进行了比较。

import numpy as np
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
x = np.linspace(0,10,11)
y = np.exp(-x/3.0)
x_new = np.linspace(0,10,100) # 期望在0-10之间变成100个数据点
f1 = interpolate.interp1d(x, y, kind='linear')
f2 = interpolate.interp1d(x, y, kind='nearest')
f3 = interpolate.interp1d(x, y, kind='zero')
f4 = interpolate.interp1d(x, y, kind='slinear')
f5 = interpolate.interp1d(x, y, kind='cubic')
f6 = interpolate.interp1d(x, y, kind='quadratic')
f7 = interpolate.interp1d(x, y, kind='previous')
f8 = interpolate.interp1d(x, y, kind='next')
plt.figure('Demo', facecolor='#eaeaea')
plt.subplot(221)
plt.plot(x, y, "o",  label=u"原始数据")
plt.plot(x_new, f2(x_new), label=u"临近点插值")
plt.plot(x_new, f7(x_new), label=u"前点插值")
plt.plot(x_new, f8(x_new), label=u"后点线性插值")
plt.legend()
plt.subplot(222)
plt.plot(x, y, "o",  label=u"原始数据")
plt.plot(x_new, f1(x_new), label=u"线性插值")
plt.plot(x_new, f3(x_new), label=u"零阶样条插值")
plt.plot(x_new, f4(x_new), label=u"一阶样条插值")
plt.legend()
plt.subplot(223)
plt.plot(x, y, "o",  label=u"原始数据")
plt.plot(x_new, f1(x_new), label=u"线性插值")
plt.plot(x_new, f5(x_new), label=u"三阶样条插值")
plt.legend()
plt.subplot(224)
plt.plot(x, y, "o",  label=u"原始数据")
plt.plot(x_new, f1(x_new), label=u"线性插值")
plt.plot(x_new, f6(x_new), label=u"五阶样条插值")
plt.legend()
plt.show()

不同的插值方法画在一起，对比之下效果会比较明显：

2、二维插值

二维数据，通常总是对应着一个网格，比如，经纬度网格。如果插值对象只有一个二维数组，那么我们可以用数组的行列号来构造网格。

import numpy as np
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
y, x = np.mgrid[-2:2:20j,-3:3:30j] # 30x20 = 600
z = x*np.exp(-x**2-y**2)
y_new, x_new = np.mgrid[-2:2:80j,-3:3:120j] # 120x80 = 9600
f1 = interpolate.interp2d(x[0,:], y[:,0], z, kind='linear') # 线性插值
f2 = interpolate.interp2d(x[0,:], y[:,0], z, kind='cubic') # 三阶样条
f3 = interpolate.interp2d(x[0,:], y[:,0], z, kind='quintic') # 五阶样条
z1 = f1(x_new[0,:], y_new[:,0])
z2 = f2(x_new[0,:], y_new[:,0])
z3 = f3(x_new[0,:], y_new[:,0])
plt.subplot(221)
plt.pcolor(x, y, z, cmap=plt.cm.hsv)
plt.colorbar()
plt.axis('equal')
plt.subplot(222)
plt.pcolor(x_new, y_new, z1, cmap=plt.cm.hsv)
plt.colorbar()
plt.axis('equal')
plt.subplot(223)
plt.pcolor(x_new, y_new, z2, cmap=plt.cm.hsv)
plt.colorbar()
plt.axis('equal')
plt.subplot(224)
plt.pcolor(x_new, y_new, z3, cmap=plt.cm.hsv)
plt.colorbar()
plt.axis('equal')
plt.show()

原始数据、线型插值数据、三阶插值数据、五阶插值数据的效果对比如下：

二、拟合

在工作中，我们常常需要在图中描绘某些实际数据观察的同时，使用一个曲线来拟合这些实际数据。所谓拟合，就是找出符合数据变化趋势的曲线方程，进而对变化趋势做出预测。

1、使用numpy.polyfit拟合

numpy.polyfit() 实现了最小二乘法，其功能是返回指定次数的多项式参数，这组参数使得多项式和样本数据的误差为最小。下面的代码，虚拟了谷神星的一段观测数据，籍此使用最小二乘法实现多项式拟合，进而推测出谷神星未来的运行轨迹。最后和虚拟的运行轨道方程比较。

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
def f(t):
    """谷神星虚拟的运行轨道方程。我们假装不知道，仅用来验证预测结果是否准确"""
    
    t = t/7.5 -1
    return ((t**2-1)**3 + 0.5)*np.sin(2*t)
t = np.linspace(0, 20, 201) # 用于绘制实际的运行轨迹线
_x = np.linspace(0, 15, 16) # 观测数据时间序列
_y = f(_x) # 观测数据位置序列
x = np.linspace(15, 20, 6) # 待预测的时间序列
loss_list = list()
for i in range(2,16): # 从2次到15次多项式，逐一计算误差
    args = np.polyfit(_x, _y, i) # 用最小二乘法找到一组系数
    g = np.poly1d(args) # 用这组系数生成方程g(x)
    loss = np.sum(np.square(g(_x)-_y)) # 计算i次多项式拟合的误差
    loss_list.append(loss)
    print(i, loss)
k = loss_list.index(min(loss_list))+2
args = np.polyfit(_x, _y, k)
g = np.poly1d(args)
plt.figure('demo', facecolor='#eaeaea')
plt.plot(_x, _y, c='r', ls='', marker='o', label=u'观测数据')
plt.plot(_x, g(_x), c='b', ls='-', label=u'%d次多项式拟合，误差%0.8f'%(k, loss_list[k-2]))
plt.plot(x, g(x), c='r', ls=':', label=u'预测轨迹')
plt.plot(t, f(t), c='#60f0f0', ls='--', label=u'实际运行轨迹')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()

将虚拟的运行轨道、虚拟的观测数据、拟合曲线、预测曲线绘制在一起，效果如下：

2、使用scipy.optimize.optimize.curve_fit拟合

不管曲线实际是什么样的，多项式拟合总是以一个有限次的多项式去逼近数据样本。还有一种拟合，就是我们知道曲线的标准方程，但有些系数或参数不确定，这样的拟合，也是要找到最佳系数或参数。scipy提供的拟合，需要先确定带参数的曲线方程，然后由scipy求解方程，返回曲线参数。

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy import optimize
>>> x = np.arange(1,13,1)
>>> y = np.array([17,19,21,28,33,38,37,37,31,23,19,18 ])
>>> plt.plot(x, y)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x04799D10>]
>>> plt.show()

可以看出，曲线近似正弦函数。构建函数y=asin(xpi/6+b)+c，使用scipy的optimize.curve_fit函数求出a、b、c的值：

>>> def fmax(x,a,b,c):
return a*np.sin(x*np.pi/6+b)+c
>>> fita, fitb = optimize.curve_fit(fmax, x, y, [1,1,1])
>>> print fita
[ 10.93254951  -1.9496096   26.75      ]
>>> xn = np.arange(1,13,0.1)
>>> plt.plot(x, y)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x04B160B0>]
>>> plt.plot(xn, fmax(xn, fita[0],fita[1],fita[2]))
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x04B16510>]
>>> plt.show()

三、求解非线性方程（组）

在数学建模中，需要对一些稀奇古怪的方程（组）求解，Matlab自然是首选，但Matlab不是免费的，scipy则为我们提供了免费的午餐！scipy.optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程（组）进行求解。它的基本调用形式如下：

fsolve(func, x0)

func(x)是计算方程组误差的函数，它的参数x是一个矢量，表示方程组的各个未知数的一组可能解，func返回将x代入方程组之后得到的误差；x0为未知数矢量的初始值。

我们先来求解一个简单的方程：$ \sin(x) - \cos(x) = 0.2$

>>> from scipy.optimize import fsolve
>>> import numpy as np
>>> def f(A):
x = float(A[0])
return [np.sin(x) - np.cos(x) - 0.2]
>>> result = fsolve(f, [1])
array([ 0.92729522])
>>> print result
[0.92729522]
>>> print f(result)
[2.7977428707082197e-09]

哈哈，易如反掌！再来一个方程组：

>>> from scipy.optimize import fsolve
>>> import numpy as np
>>> def f(A):
x = float(A[0])
y = float(A[1])
z = float(A[2])
return [4*x*x - 2*np.sin(y*z), 5*y + 3, y*z - 1.5]
>>> result = fsolve(f, [1, 1, 1])
>>> print result
[-0.70622057 -0.6        -2.5       ]
>>> print f(result)
[-9.1260332624187868e-14, 0.0, 5.329070518200751e-15]

四、数值积分

数值积分是对定积分的数值求解，例如可以利用数值积分计算某个形状的面积。我们知道，半径为1的圆的方程可写成：

下面让我们来考虑一下如何计算半径为1的半圆的面积，根据圆的面积公式，其面积应该等于PI/2。单位半圆曲线可以用下面的函数表示：

我们先定义一个计算根据x计算y的函数：

>>> def half_circle(x):
return (1-x**2)**0.5

1、经典微分法

下面的程序使用经典的分小矩形计算面积总和的方式，计算出单位半圆的面积：

>>> N = 10000
>>> x = np.linspace(-1, 1, N)
>>> dx = 2.0/N
>>> y = half_circle(x)
>>> dx * np.sum(y[:-1] + y[1:]) # 面积的两倍
3.1412751679988937

2、使用定积分求解函数

如果我们调用scipy.integrate库中的quad函数的话，将会得到非常精确的结果：

>>> from scipy import integrate
>>> pi_half, err = integrate.quad(half_circle, -1, 1)
>>> pi_half*2
3.1415926535897984

五、图像处理

在scipy.misc模块中，有一个函数可以载入Lena图像——这副图像是被用作图像处理的经典示范图像。我只是简单展示一下在该图像上的几个操作。

（1）载入Lena图像，并显示灰度图像

（2）应用中值滤波扫描信号的每一个数据点，并替换为相邻数据点的中值

（3）旋转图像

（4）应用Prewitt滤波器（基于图像强度的梯度计算）

>>> from scipy import misc
>>> from scipy import ndimage
>>> img = misc.lena().astype(np.float32)
>>> plt.subplot(221)
>>> plt.title('Original Image')
>>> plt.imshow(img, cmap=plt.cm.gray)
>>> plt.subplot(222)
>>> plt.title('Median Filter')
>>> filtered = ndimage.median_filter(img, size=(42,42))
>>> plt.imshow(filtered, cmap=plt.cm.gray)
>>> plt.subplot(223)
>>> plt.title('Rotated')
>>> rotated = ndimage.rotate(img, 90)
>>> plt.imshow(rotated, cmap=plt.cm.gray)
>>> plt.subplot(224)
>>> plt.title('Prewitt Filter')
>>> filtered = ndimage.prewitt(img)
>>> plt.imshow(filtered, cmap=plt.cm.gray)
>>> plt.show()

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