洛伦兹力（导数公式）

你好，我是方山

“安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质”，这句话是很多老师都会告诉学生的，也有很多资料书介绍了两者的关系。

但是仔细想想，你会发现这里有一个超级大的bug。我来说说这个bug是什么，解决了这个bug之后我们会对安培力和洛伦兹力有什么新的认识。

先说安培力。安培力的大小是

安培力的方向可以根据左手定则判断，如下图所示。如果这个导体棒的安培力方向是向右的，那么这个导体棒就会向右移动，安培力就会对它做正功。

先说洛仑兹力。洛伦兹力的大小是

洛伦兹力的方向也可以根据左手定则来判断。如下图所示，这个带正电的粒子的洛伦兹力的方向始终垂直于它的速度方向，洛伦兹力从来不对它做功。

这里有个Bug。既然安培力可以做功，而洛伦兹力从不做功，那么不做功的洛伦兹力通过多次累加就可以做功？

那为什么安培力是洛伦兹力的宏观表现呢？

这显然说不通。因此，我们需要重新审视文章开头的那句话。

我来解释一下文章开头的句子是怎么来的。

1)导体电流的微观表达式

假设导体单位体积的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，导体的横截面积为s，自由电荷数的定向运动速度为v。

电流最初的定义是I = Q/T，这个公式的本质含义是单位时间内流过导体横截面积的电荷量就是电流。

如下图所示，我们取这个导体的绿色截面进行研究。

根据电流的定义可以得到这个导体电流的微观表达式。

2)安培力和洛仑兹力关系的推导

现在，让我们把这个带电导体放入一个方向朝向纸面的均匀磁场中，如图所示。

那么，每个定向运动电荷上的洛仑兹力的方向是向下的，大小为

假设这个导体的长度为L，那么整个导体中所有的自由电荷和洛仑兹力合成为

从这里的推导可以看出我们文章开头的说法“安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质”。

但是到现在为止，我们还没有解释我们开头说的那个bug。下面我们继续建模分析。、

1)(电机模型)电流作用在金属丝上，金属丝起初是静止的，忽略所有的摩擦力。

起初，导体棒是静止的，导体棒中有向下的电流，这意味着导体棒中有向上运动的自由电子。这些电子受到向右的洛伦兹力，每个自由电子受到的洛伦兹力之和就是宏观安培力，使导体棒向右移动。

如果导体棒运动后有向右的速度v1，导体棒中自由电荷的方向速度v2，那么导体棒中自由电荷的实际速度方向就是两个速度的叠加。详见下图。

导体向右移动的速度v1(当然这也是自由电子向右移动的速度)产生一个向下的洛伦兹力F LO1。沿着导体棒向上自由移动的电子的速度v2产生向右的洛伦兹力Flo2。

洛仑兹力F LO2对每个自由电子的合力为宏观安培力，每个自由电子上的洛仑兹力F LO1阻碍电子沿导体棒运动，也就是说产生了反向电动势。

现在设F LO2的宏观安培力功为W2，F LO1的宏观反电动势功为W1。

重点来了:因为洛伦兹力不做功，W1+W2=0。

你也可以这样推理

由此可知，该模型中整体能量的分配关系如下

反电动势在消耗电能，电能转化为导体棒的动能(增加导体棒的机械能)。

本质上，洛伦兹力起到了将电能转化为机械能的桥梁作用。

2)(发电机模型)不要给导体通电，导体棒有初速度v1，忽略所有摩擦力。

由于导体棒具有向右的初速度v1，自由电荷将受到向下的洛伦兹力Fluo1，这将使自由电荷沿着导体棒向下移动。假设向下的运动速度为v2，自由电荷将受到向左的洛伦兹力Fluo2。

F LO2的宏观表现是导体棒上的安培力，F LO1的宏观表现是感应电动势。因为洛伦兹力不做功，W1+W2=0。

由此，我们可以得到这个模型的能量分布如下

导体克服安培力所做的功，安培力所做的功等于感应电动势所做的功，也就是说所有的动能都转化为电能，然后这部分电能会通过电阻，通过电阻后产生热量。

所以最后的关系就是导体棒的动能完全转化为电阻的散热。本质上是洛伦兹力的桥梁作用。

我总结一下这篇文章的内容:

(1)“安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质”。这句话不能解释安培力可以做功，洛伦兹力从不做功的问题；

②我推导了安培力和洛仑兹力表达式之间的关系；

③我介绍了两个模型，一个是电机模型，一个是发电机模型，从本质上解释了洛伦兹力和安培力的关系:

洛伦兹力垂直于导体棒的合力为安培力；洛伦兹力沿着导体棒各分量的合力产生感应电动势，可以知道安培力做功=感应电动势做功，洛伦兹力起到了机械能和电能之间的桥梁作用。

我已经尽力用通俗的方式来写这篇文章了，但是还是需要你花一点时间去思考去理解。但是请相信我，花这个时间搞清楚这篇文章的内容是值得的。

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