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数学实验（全26讲）【理工学社】
2023-12-04 21:57课程 人已围观
本课程为上海交通大学乐经良教授主讲
数学实验课的产生和意义
数学实验作为近年来大学数学教学改革中的一门新型课程，诞生的时间并不长，却引起十分广泛的兴趣和关注。它最早大约在上世纪 80 年代末出现于美国的一些大学，被称为“数学实验室”，重点是通过一系列的结合使用计算机的实验引导学生进入数学的境界。 我国高校在上世纪 90 年代中期开始设置“数学实验”课，发展极为迅速，目前许多学校已经或准备开设这门课。在理工科大学的基础教学中，传统数学课程历来有着重要的地位，已经占有较多的学时，是否还有必要开设数学实验课？这门课程的意义何在？
随着经济和科学技术的进步，尤其是计算机技术的飞速发展，数学对于当代科学乃至整个社会的影响和推动作用日益显著。数学成为科学研究的主要支柱：数学方法及计算已经与理论研究和科学实验同样成为科研中不可缺少的有效手段。同时，现代数学几乎已经渗透到包括自然科学、工程技术、经济管理以至人文社会科学的所有学科和应用领域中，从宇宙飞船到家用电器、从质量控制到市场营销，通过建立数学模型、应用数学理论和方法并结合计算机解决来实际问题成为十分普遍的模式。这种掌握数学知识并应用计算机来从事研究或解决实际问题的本领说明 形势对科学技术人才的数学素质和能力已经提出了更新更高的要求。
然而传统数学课程对此反映不足：多年以来教学内容、方法和手段变化甚微，不能体现数学在科技和现实生活中所起的重要作用，也未能充分结合先进的计算机技术改进教学的过程。正因为如此，出现了象中科院院士李大潜所指出的那种“ 长期存在的矛盾现象：一方面数学很有用、另一方面学生学了数学以后却不会用 。”
数学实验课的设立，首先是改变了数学课程那种仅仅依赖“一支笔，一张纸”，由教师单向传输知识的模式。它提高了学生在教学过程中的参与程度，学生的主观能动性在实验中能得到相当充分的发挥。好的实验会引起学生学习数学知识和方法的强烈兴趣并激发他们自己去解决相关实际问题的欲望，因此 数学实验有助于促进独立思考和创新意识的培养。
其次，数学实验让学生了解和初步实践应用数学知识和方法解决实际问题的全过程，并通过计算机和数学软件进行“实验”，实验的结果不仅仅是公式定理的推导、套用和手工计算的结论，它还反映了学生对数学原理、数学方法、建模方法、计算机操作和软件使用等多方面内容的掌握程度和应用的能力。因此 数学实验有助于 促进在实际工作中非常需要的综合应用能力的培养。
另外，数学实验必须使用计算机及应用软件，将先进技术工具引进了教学过程，不止是作为一种教学辅助手段，而且是作为解决实验中问题的主要途径。因此 数学实验有助于促进数学教学手段现代化和让学生掌握先进的数学工具。
从这些方面可以看出：数学实验课并非是一种应景点缀的时髦课程，它的产生 符合教育改革的方向 ，是很具生命力的新型课程。
数学实验课程的教学框架
数学实验目前还处于探索试点的阶段，存在几种教学模式：一种是通过实验来观察、分析、总结和猜想数学中的规律，适用于数学系学生；一种是通过实验来学习较系统地学习数学方法，例如计算方法，优化方法和统计方法等法；还有一种是“案例式”实验教学，通过具体案例的分析解决来学习和应用数学知识和方法。我们采用的是“案例式”教学法。
大多数实验都是从一个实际问题出发，来讨论分析如何解决这个问题。每个问题基本上包括了“ 问题提出 ? ? 建立数学模型 ? ? 分析研讨 ? ? 计算机处理 ? ? 小结或进一步思考 ”的过程。 案例式教学一方面由实际问题导出相应的方法和理论，有的放矢，针对性强，符合人们的认识过程；另一方面具有相对的独立性和完整性，便于灵活安排。在当前 工科数学课程体系改革尚在进行，各类学校教学计划和学时有很大差异的情况下，数学实验课程的内容和课时等可以根据实际需要和可能来加以调整。这种灵活性和适应性使得课程的设置成为可行是相当重要的。
教学内容的选取则主要依据 (1)基础适当，深入浅出；(2)题材广泛,知识丰富；(3)典型生动，新颖有趣的原则(参见教材编写一节)。而 教学方式采用讲授与训练相结合、课内学习与课外研讨相结合、理论推导及运算与上机操作相结合的方式。
具体的教学过程是通常在 课程的开始时先用大约 4个学时介绍数学软件的基本内容和操作指令，并要求学生进行适当的练习，作为以后实验的基础。在 每一实验开始时，先由教师授课约 2 学时，介绍实验的背景和要求，以及相关的建模方法、数学上的解析的和近似的处理方法，然后布置实验任务。学生分小组（每组二、三人为宜）在课外讨论、建模，设计问题的处理方案，再上机操作 2 学时左右，最后写出实验报告。在有必要的时，宜对学生的实验情况作讨论或小结。
对数学实验课的安排大体上有两种模式：一是结合在某一数学基础课内，根据内容适当安排相应实验，在一门 54 学时的课程内大约介绍 3 个数学实验；另一是作为独立课程开设， 36 或 54 学时，讲课和上机各占一半，大约介绍 9 － 12 个实验。
数学实验课程中学生的选择性
数学实验与其他数学课程的一个重要区别在于学生在课程中的主动选择性。对教师的授课中所介绍的实验，学生并非都要完成，而是可以有多种选择 。学生可以选择不同实验内容 , 选择同一实验中的不同任务 ; 可以自行改变实验内容和任务 ; 可以选择使用软件和自编程序 , 可以选择实验小组。
课程目的
课程通过介绍并让学生参与将实际问题提炼出数学模型，进而运用数学方法和手段，尤其是用数值模拟的方法结合计算机来解决这些问题的过程，着重培养学生的创新意识和综合应用能力 .
课程通过具体案例介绍数学模型的建立；学习了解相关的重要数学方法，包括数值方法，仿真方法，摄动方法，运筹方法和统计方法等；介绍某些数学新分支或相关学科数学方法的入门知识；学会使用数学软件 (主要是Mathematica).
课程内容
课程所讲授主要内容取自以下案例 .
实验一 曲柄滑块机构的运动规律
本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究. 通过实验复习函数求导法、Taylor公式和其他有关知识.着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法.
实验二 教堂顶部曲面面积的计算方法
本实验主要涉及微积分中多元函数积分，通过实验将复习曲面面积的计算、重积分和Taylor展开等知识；另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析表达式的摄动方法.
实验三 导弹跟踪问题
本实验主要涉及常微分方程.通过实验将复习微分方程的建模和求解;另外将介绍微分方程的数值方法:Euler法和改进的Euler法;还介绍了仿真方法.
实验四 行星的轨道和位置
本实验主要涉及常微分方程.通过实验复习微分方程的建模和解法;数值积分的计算.另外将介绍:建立数学模型时复坐标系的选取;基于压缩映象的方程求根方法;微分方程的Runge-Kutte法.
实验五 炮弹射击安全区和凸轮设计 ──平面曲线包络线的应用
本实验涉及微积分和微分方程，通过实验复习曲线的参数方程及其求导、复合函数微商法、微分方程的建立及求解和某些二次曲面等知识；另外通过两个实际问题介绍平面单参数曲线族包络线的概念及其应用.
实验六 个人住房抵押贷款和其它金融问题
本实验涉及微积分中数列和线性代数中矩阵运算，通过实验复习数列、函数方程求根和与线性代数方程组有关的知识；主要是介绍与经济生活中某些常见重要问题有关的离散形式数学模型 ── 差分方程.
实验七 油罐标尺刻度的设计
本实验涉及积分、微分方程和线性代数的若干知识. 通过实验将复习函数的反函数、定积分的应用和计算、解微分方程和解代数方程组等内容；并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧，例如插值法、二分法和两点边值问题的差分法等.
实验八 投入产出分析
本实验主要涉及线性代数. 通过实验复习向量和矩阵的运算，线性方程组的求解等知识；主要介绍了线性代数在经济分析方面的重要应用.
实验九 合金工厂的生产规划问题
本实验涉及线性代数，通过实验复习矩阵的运算、初等变换和解线性方程组等知识，另外介绍了运筹学中一类重要的问题：线性规划问题的建模和求解的基本方法.
实验十 Hill密码的加密、解密与破译
本实验主要涉及线性代数, 利用模运算意义下的矩阵乘法、求逆矩阵、线性无关、线性空间与线性变换等概念和运算,介绍Hill密码体制的加密、解密和破译过程.
实验十一 CT图像重建的代数方法
本实验主要涉及线性代数方程组.通过实验复习代数方程组解的有关理论,利用线性代数方程组建模并根据方程组的具体情况利用数值方法求解或近似解.介绍了解方程组的松弛法.
实验十二 种群年龄结构的估算
本实验主要涉及线性代数,通过实验建立种群年龄结构的Leslie矩阵模型,利用特征值与特征向量分析模型的性态.
实验十三 库存系统的仿真方法
本实验涉及一些概率知识. 通过实验讨论了较为简单的库存系统问题,着重介绍离散事件的计算机仿真方法.
实验十四 质量控制图
本实验主要涉及数理统计，通过实验复习数理统计中的参数估计、假设检验等有关知识，介绍了用质量控制图进行质量管理的方法
实验十五 建筑工程公司投标的决策分析
本实验涉及概率论知识，通过实验复习了概率论的某些基本概念 ,介绍了利用决策树和效用函数解决关于投资项目的风险决策问题的方法;并介绍与此相关的灵敏度分析和Bayes分析.
实验十六 生存期预测
本实验主要涉及数理统计，通过实验复习数理统计中的基本概念；着重介绍了应用回归分析根据有关数据对问题进行预测的方法 .
实验十七 机器人识别定形工具柄问题
本实验涉及高等数学和线性代数若干知识点 , 通过实验复习多元函数极值理论、线性代数方程组列式与求解等内容, 并且介绍了求解对称正定型线性代数方程组的几个常用的数值算法( 方法,Jacobi和Gauss-seidel迭代法), 和一个求解非线性二元方程组的迭代法.
实验十八 从物种增长的Malthus模型到浑沌
本实验涉及函数的迭代、不动点和有关的作图 .实验通过对一个简单的一维二次函数映射即Logistic映射的讨论,介绍了用数值迭代、蛛网迭代和密度分布等方法来研究浑沌；说明了浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些普适结构；进而说明计算机和数学结合在科学研究中的重要性.
实验十九 人寿保险费额的确定
本实验主要涉及概率论，利用概率论中的期望、方差与中心极限定理以及保险数学的相关知识 , 给出了计算人寿保险费的一些方法.
实验二十 生物电分析的小波方法
本实验主要涉及线性代数、微积分与积分变换 .通过实验复习向量与矩阵的运算及广义积分等知识.另外，介绍了小波方法的基本概念及用之分析生物电进行疾病诊断的方法.
实验二十一 股票期权定价问题的 Black－Scholes方程和二叉树方法
本实验涉及概率论和微分方程 .实验通过金融中期权定价的Black-Scholes方程的建立和求解,复习了数学期望、方差、正态分布和分布函数等概念；介绍了Black-Scholes的建模思想；介绍了金融衍生证券定价的二叉树方法.
数学实验课的产生和意义
数学实验作为近年来大学数学教学改革中的一门新型课程，诞生的时间并不长，却引起十分广泛的兴趣和关注。它最早大约在上世纪 80 年代末出现于美国的一些大学，被称为“数学实验室”，重点是通过一系列的结合使用计算机的实验引导学生进入数学的境界。 我国高校在上世纪 90 年代中期开始设置“数学实验”课，发展极为迅速，目前许多学校已经或准备开设这门课。在理工科大学的基础教学中，传统数学课程历来有着重要的地位，已经占有较多的学时，是否还有必要开设数学实验课？这门课程的意义何在？
随着经济和科学技术的进步，尤其是计算机技术的飞速发展，数学对于当代科学乃至整个社会的影响和推动作用日益显著。数学成为科学研究的主要支柱：数学方法及计算已经与理论研究和科学实验同样成为科研中不可缺少的有效手段。同时，现代数学几乎已经渗透到包括自然科学、工程技术、经济管理以至人文社会科学的所有学科和应用领域中，从宇宙飞船到家用电器、从质量控制到市场营销，通过建立数学模型、应用数学理论和方法并结合计算机解决来实际问题成为十分普遍的模式。这种掌握数学知识并应用计算机来从事研究或解决实际问题的本领说明 形势对科学技术人才的数学素质和能力已经提出了更新更高的要求。
然而传统数学课程对此反映不足：多年以来教学内容、方法和手段变化甚微，不能体现数学在科技和现实生活中所起的重要作用，也未能充分结合先进的计算机技术改进教学的过程。正因为如此，出现了象中科院院士李大潜所指出的那种“ 长期存在的矛盾现象：一方面数学很有用、另一方面学生学了数学以后却不会用 。”
数学实验课的设立，首先是改变了数学课程那种仅仅依赖“一支笔，一张纸”，由教师单向传输知识的模式。它提高了学生在教学过程中的参与程度，学生的主观能动性在实验中能得到相当充分的发挥。好的实验会引起学生学习数学知识和方法的强烈兴趣并激发他们自己去解决相关实际问题的欲望，因此 数学实验有助于促进独立思考和创新意识的培养。
其次，数学实验让学生了解和初步实践应用数学知识和方法解决实际问题的全过程，并通过计算机和数学软件进行“实验”，实验的结果不仅仅是公式定理的推导、套用和手工计算的结论，它还反映了学生对数学原理、数学方法、建模方法、计算机操作和软件使用等多方面内容的掌握程度和应用的能力。因此 数学实验有助于 促进在实际工作中非常需要的综合应用能力的培养。
另外，数学实验必须使用计算机及应用软件，将先进技术工具引进了教学过程，不止是作为一种教学辅助手段，而且是作为解决实验中问题的主要途径。因此 数学实验有助于促进数学教学手段现代化和让学生掌握先进的数学工具。
从这些方面可以看出：数学实验课并非是一种应景点缀的时髦课程，它的产生 符合教育改革的方向 ，是很具生命力的新型课程。
数学实验课程的教学框架
数学实验目前还处于探索试点的阶段，存在几种教学模式：一种是通过实验来观察、分析、总结和猜想数学中的规律，适用于数学系学生；一种是通过实验来学习较系统地学习数学方法，例如计算方法，优化方法和统计方法等法；还有一种是“案例式”实验教学，通过具体案例的分析解决来学习和应用数学知识和方法。我们采用的是“案例式”教学法。
大多数实验都是从一个实际问题出发，来讨论分析如何解决这个问题。每个问题基本上包括了“ 问题提出 ? ? 建立数学模型 ? ? 分析研讨 ? ? 计算机处理 ? ? 小结或进一步思考 ”的过程。 案例式教学一方面由实际问题导出相应的方法和理论，有的放矢，针对性强，符合人们的认识过程；另一方面具有相对的独立性和完整性，便于灵活安排。在当前 工科数学课程体系改革尚在进行，各类学校教学计划和学时有很大差异的情况下，数学实验课程的内容和课时等可以根据实际需要和可能来加以调整。这种灵活性和适应性使得课程的设置成为可行是相当重要的。
教学内容的选取则主要依据 (1)基础适当，深入浅出；(2)题材广泛,知识丰富；(3)典型生动，新颖有趣的原则(参见教材编写一节)。而 教学方式采用讲授与训练相结合、课内学习与课外研讨相结合、理论推导及运算与上机操作相结合的方式。
具体的教学过程是通常在 课程的开始时先用大约 4个学时介绍数学软件的基本内容和操作指令，并要求学生进行适当的练习，作为以后实验的基础。在 每一实验开始时，先由教师授课约 2 学时，介绍实验的背景和要求，以及相关的建模方法、数学上的解析的和近似的处理方法，然后布置实验任务。学生分小组（每组二、三人为宜）在课外讨论、建模，设计问题的处理方案，再上机操作 2 学时左右，最后写出实验报告。在有必要的时，宜对学生的实验情况作讨论或小结。
对数学实验课的安排大体上有两种模式：一是结合在某一数学基础课内，根据内容适当安排相应实验，在一门 54 学时的课程内大约介绍 3 个数学实验；另一是作为独立课程开设， 36 或 54 学时，讲课和上机各占一半，大约介绍 9 － 12 个实验。
数学实验课程中学生的选择性
数学实验与其他数学课程的一个重要区别在于学生在课程中的主动选择性。对教师的授课中所介绍的实验，学生并非都要完成，而是可以有多种选择 。学生可以选择不同实验内容 , 选择同一实验中的不同任务 ; 可以自行改变实验内容和任务 ; 可以选择使用软件和自编程序 , 可以选择实验小组。
课程目的
课程通过介绍并让学生参与将实际问题提炼出数学模型，进而运用数学方法和手段，尤其是用数值模拟的方法结合计算机来解决这些问题的过程，着重培养学生的创新意识和综合应用能力 .
课程通过具体案例介绍数学模型的建立；学习了解相关的重要数学方法，包括数值方法，仿真方法，摄动方法，运筹方法和统计方法等；介绍某些数学新分支或相关学科数学方法的入门知识；学会使用数学软件 (主要是Mathematica).
课程内容
课程所讲授主要内容取自以下案例 .
实验一 曲柄滑块机构的运动规律
本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究. 通过实验复习函数求导法、Taylor公式和其他有关知识.着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法.
实验二 教堂顶部曲面面积的计算方法
本实验主要涉及微积分中多元函数积分，通过实验将复习曲面面积的计算、重积分和Taylor展开等知识；另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析表达式的摄动方法.
实验三 导弹跟踪问题
本实验主要涉及常微分方程.通过实验将复习微分方程的建模和求解;另外将介绍微分方程的数值方法:Euler法和改进的Euler法;还介绍了仿真方法.
实验四 行星的轨道和位置
本实验主要涉及常微分方程.通过实验复习微分方程的建模和解法;数值积分的计算.另外将介绍:建立数学模型时复坐标系的选取;基于压缩映象的方程求根方法;微分方程的Runge-Kutte法.
实验五 炮弹射击安全区和凸轮设计 ──平面曲线包络线的应用
本实验涉及微积分和微分方程，通过实验复习曲线的参数方程及其求导、复合函数微商法、微分方程的建立及求解和某些二次曲面等知识；另外通过两个实际问题介绍平面单参数曲线族包络线的概念及其应用.
实验六 个人住房抵押贷款和其它金融问题
本实验涉及微积分中数列和线性代数中矩阵运算，通过实验复习数列、函数方程求根和与线性代数方程组有关的知识；主要是介绍与经济生活中某些常见重要问题有关的离散形式数学模型 ── 差分方程.
实验七 油罐标尺刻度的设计
本实验涉及积分、微分方程和线性代数的若干知识. 通过实验将复习函数的反函数、定积分的应用和计算、解微分方程和解代数方程组等内容；并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧，例如插值法、二分法和两点边值问题的差分法等.
实验八 投入产出分析
本实验主要涉及线性代数. 通过实验复习向量和矩阵的运算，线性方程组的求解等知识；主要介绍了线性代数在经济分析方面的重要应用.
实验九 合金工厂的生产规划问题
本实验涉及线性代数，通过实验复习矩阵的运算、初等变换和解线性方程组等知识，另外介绍了运筹学中一类重要的问题：线性规划问题的建模和求解的基本方法.
实验十 Hill密码的加密、解密与破译
本实验主要涉及线性代数, 利用模运算意义下的矩阵乘法、求逆矩阵、线性无关、线性空间与线性变换等概念和运算,介绍Hill密码体制的加密、解密和破译过程.
实验十一 CT图像重建的代数方法
本实验主要涉及线性代数方程组.通过实验复习代数方程组解的有关理论,利用线性代数方程组建模并根据方程组的具体情况利用数值方法求解或近似解.介绍了解方程组的松弛法.
实验十二 种群年龄结构的估算
本实验主要涉及线性代数,通过实验建立种群年龄结构的Leslie矩阵模型,利用特征值与特征向量分析模型的性态.
实验十三 库存系统的仿真方法
本实验涉及一些概率知识. 通过实验讨论了较为简单的库存系统问题,着重介绍离散事件的计算机仿真方法.
实验十四 质量控制图
本实验主要涉及数理统计，通过实验复习数理统计中的参数估计、假设检验等有关知识，介绍了用质量控制图进行质量管理的方法
实验十五 建筑工程公司投标的决策分析
本实验涉及概率论知识，通过实验复习了概率论的某些基本概念 ,介绍了利用决策树和效用函数解决关于投资项目的风险决策问题的方法;并介绍与此相关的灵敏度分析和Bayes分析.
实验十六 生存期预测
本实验主要涉及数理统计，通过实验复习数理统计中的基本概念；着重介绍了应用回归分析根据有关数据对问题进行预测的方法 .
实验十七 机器人识别定形工具柄问题
本实验涉及高等数学和线性代数若干知识点 , 通过实验复习多元函数极值理论、线性代数方程组列式与求解等内容, 并且介绍了求解对称正定型线性代数方程组的几个常用的数值算法( 方法,Jacobi和Gauss-seidel迭代法), 和一个求解非线性二元方程组的迭代法.
实验十八 从物种增长的Malthus模型到浑沌
本实验涉及函数的迭代、不动点和有关的作图 .实验通过对一个简单的一维二次函数映射即Logistic映射的讨论,介绍了用数值迭代、蛛网迭代和密度分布等方法来研究浑沌；说明了浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些普适结构；进而说明计算机和数学结合在科学研究中的重要性.
实验十九 人寿保险费额的确定
本实验主要涉及概率论，利用概率论中的期望、方差与中心极限定理以及保险数学的相关知识 , 给出了计算人寿保险费的一些方法.
实验二十 生物电分析的小波方法
本实验主要涉及线性代数、微积分与积分变换 .通过实验复习向量与矩阵的运算及广义积分等知识.另外，介绍了小波方法的基本概念及用之分析生物电进行疾病诊断的方法.
实验二十一 股票期权定价问题的 Black－Scholes方程和二叉树方法
本实验涉及概率论和微分方程 .实验通过金融中期权定价的Black-Scholes方程的建立和求解,复习了数学期望、方差、正态分布和分布函数等概念；介绍了Black-Scholes的建模思想；介绍了金融衍生证券定价的二叉树方法.
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