克罗内克不变量

[拼音]：Keluoneike bubianliang

[外文]：Kronecker invariants

描述多变量线性系统结构的一组参数。考虑线性系统

式中x(t)为n维状态向量，u(t)为p 维输入向量，y(t)为q维输出向量;A、B、C分别为n×n、n×p、q×n维矩阵。如果系统是完全能观测的（见能观测性），它的能观测性矩阵为

则F的秩为n。将F的行向量按一定的顺序排列起来，例如C₁，C₂，…，C_q，C₁A，C₂A，…,C_qA，…,C₁A^n-1，C₂A^n-1，…，C_qA^n-1;其中C_i为矩阵C的第i行。对这个向量序列从左向右逐个挑选，选出与前面所选出的向量线性无关的向量。这样被选出来的向量恰好是 n个。若所选出的形如C_iA^j(i＝1，2,…,q；j≥0)的向量的个数为v_i,则有v₁＋v₂＋…＋v_q＝n。数组(v₁， v₂，…，v_q)称为能观性指标。

如果系统是完全能控的（见能控性），它的能控性矩阵为

G＝[B，AB，A²B，…，A^n-1B]

则G的秩为n。将G 的列向量按一定的顺序排列起来,用上面同样的办法也能选出n个线性无关的向量,并得出一组整数型参数μ_i(i＝1，2，…，p)。同样，也有μ₁＋μ₂＋…＋μ_p＝n。数组（μ₁,μ₂,…，μ_p）称为能控性指标。

(v₁，v₂，…，v_q)和(μ₁，μ₂，…,μ_p) 在代数等价的意义下是不变的，即对任何满秩方阵T，系统(A，B，C)和系统(TAT^-1，TB，CT^-1)所决定的能观测性和能控性指标是一样的。这两组指标都称为克罗内克不变量。

不变量的值取决于选择无关向量时向量的排列顺序，顺序不同可能得到不同的不变量，从而决定不同的规范型。但如果在选择无关向量时的顺序已经给定，则不变量和规范型就都是唯一确定的。

克罗内克不变量是研究线性系统的基本参数。如何通过输入输出数据去决定不变量组，是线性系统结构辨识的基本问题。

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